DINAMIC PRORAMMING

Multi Stage Programming

Pada umumnya permasalahan riset operasi diselesaikan dengan serangan tunggal arinya seluruh atau semua persoalan diselesaikan dengan sekali pukul. Namun sering terdapat masalah yang hanya dapat diselesaikan dengan memecahkan menjadi bagian-bagian kecil yang kemudian menggabungkannya kembali untuk mendapatkan jawaban yang diinginkan.

Multi Stage Programming lebih dikenal dengan nama Dynamic Programming, karena kegunaannya melibatkan pengambilan keputusan yang melewati waktu. Namun, pada situasi lain dimana waktu bukan sebagai faktor. Dynamic Programming dikenalkan oleh Ricard Bellman. Dynamic Programming lebih luwes dibanding kebanyakan model dan metode matematik dalam riset operasi. Dynamic Programming digunakan untuk menyelesaikan masalah seperti : Alokasi, Muatan (Cargo - Loading), Capital Budgeting, Pengendalian persediaan dll.

Ciri-ciri pokok masalah dynamic programming :

a.      Keputusan tentang suatu masalah ditandai dengan optimasi pada tahap berikutnya, bukan keserentakan.

b.     Berkaitan dengan masalah dimana pilihan atau keputusan dibuat pada masing-masing tahap.

c.      Setiap keputusan pada setiap tahap adalah return function yang mengevaluasi pilihan yang dibuat dalam arti sumbangan yang diberikan kepada tujuan keseluruhan (maks / min).

d.     Setiap tahap keputusan dihubungkan dengan tahap yang berdekatan melalui fungsi transisi. Fungsi ini berupa kuantitas diskrit maupun kontinu tergantung sifat masalahnya.

e.      Suatu hubungan rekursif digunakan untuk menghubungkan kebijaksanaan optimum pada tahap n dengan n-1. Ada dua macam prosedur rekursif yaitu foreward dan backward.

Penerapan Dynamic Programming

Masalah Dynamic Programming tak ada formulasi matemati yang baku. Pada umunya, persamaan rekrusif melibatkan dua jenis perhitungan, sesuai dengan sistemnya kontinu atau diskrit. Dalam kasus pertama keputusan optimum pada setiap saat diperoleh dengan menggunakan metode optimasi klasik biasa. Dalam kasus kedua, digunakan perhitungan tabel. Banyaknya baris dalam setiap tabel sama dengan banyaknya state an banyaknya kolom sama dengan banyaknya alternative (keputusan yang mungkin).

Masalah Alokasi

Keuntungan pada empat macam kegiatan merupakan fungsi dari jam kerja yang dialokasikan pada masing-masing kegiatan dituangkan dalam tabel di bawah ini . Jika setiap hari tersedia 4 jam kerja, bagaimana alokasi waktu sehingga keuntungan perharinya maksimum ???

•        Kegiatan à Tahap ( stage )

•        X_j à adalah banyaknya jam kerja yang dialokasikan pada tahap j.

•        P_j(X_j) adalah keuntungan dari alokasi X jam kerja pd kegiatan j.

•        Maks               : Z = P₁(X₁) + P₂(X₂) + P₃(X₃) + P₄(X₄)

•        Kendala           :  X₁ + X₂ + X₃ + X₄ = 4 dan X₁ , X₂, X₃ , X₄ ≥ 0

State ( keadaan) nya disimbolkan dengan Y_j , dimana :

1.     Y₁ = juml jam kerja yang disediakan pada tahap 1,2,3,4.

2.     Y₂ = juml jam kerja yang disediakan pada tahap 2,3,4.

3.     Y₃ = juml jam kerja yang disediakan pada tahap 3,4.

4.     Y₄ = juml jam kerja yang disediakan pada tahap 4.

Sedangkan fungsi keuntungan tiap stage (tahap) adalah :

1.     f*₄(Y₄)= keuntungan optimum pada tahap 4 denganY₄ tertentu.

2.     f*₃(Y₃)= keuntungan optimum pada tahap 3,4 dengan Y₃ tertentu.

3.     f*₂(Y₂)= keuntungan optimum pada tahap 2,3,4 dengan Y₂ tertentu.

4.     f*₁(Y₁)= keuntungan optimum pada tahap 1,2,3,4 dengan Y₁ tertentu.

Tahap 1 : f*₁(Y₁) = maks  {P₁(X₁) + f*₂(Y₂) }

Tahap 2 : f*₂(Y₂) = maks  {P₂(X₂) + f*₃(Y₃) }

Tahap 3 : f*₃(Y₃) =maks  {P₃(X₃) + f*₄(Y₄) }

Tahap 4 :   f*₄(Y₄) =maks  {P₄(X₄)}  dgn f₅(Y₅) = 0

Jadi keuntungan maks adalah 12, dengan beberapa alokasi alternatif sebagai berkut :

Masalah Muatan (Cargo - Loading)

Sebuah perusahaan angkutan sedang mempertimbangkan mengangkut 3 jenis barang. Berat masing-masing barang dan biaya angkutannya seperti pada tabel di bawah . Armada tersebut memiliki kapasitas maks. W = 5 ton. Barang apa saja yang harus diangkut dan berapa banyaknya agar penerimaan maksimum ??

SUMBER :

Mulyono. Sri, S.E.,M.Sc. Riset Operasional. Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia. 2002.

http://tugasuntukor2.blogspot.co.id/2010/01/multi-stage-dynamic-programming.html

MODEL ARUS JARINGAN

TEORI ANTRIAN

TEORI ANTRIAN

A.      Pengertian Analisis Antrian

-            Analisa antrian merupakan bentuk analisa probabilita, bukan teknik penentuan. Oleh karena itu hasil dari analisa antrian, disebut sebagai “karakteristik operasi”, bersifat probabilita.

-            Statistik operasi ini digunakan oleh manajer untuk mengambil keputusan dalam suatu operasi yang mengandung masalah antrian.

-            Ada sejumlah model antrian yang berbeda yang dapat digunakan untuk menganalisa sistem antrian yang berbeda. Namun yang akan dibahas hanya pada dua jenis sistem yang paling umum yaitu sistem pelayanan tungal (single-server system) dan sistem pelayanan ganda (multiple-server system).

B.       Sistem Pelayanan Tunggal

Pelayanan tunggal dengan sebuah antrian tunggal merupakan bentuk paling sederhana dari sistem antrian. Oleh karena itu, sistem ini akan digunakan untuk memperagakan dasar-dasar sistem antrian.

Contoh: Fast Shop Drive-In Market.

Fast Shop Market memiliki satu tempat kasir dan satu pegawai yang bertugas mengoperasikan mesin kas pada tempat kasir tersebut. Dalam sistem antrian ini, kombinasi antara mesin kas dan tempat kasir atau disebut server (atau fasilitas pelayanan); para pelanggan yang menunggu giliran pada tempat tersebut untuk membayar barang belanjaan membentuk suatu barisan, atau antrian.

C.      Faktor – faktor Yang Mempengaruhi Analisis Antrian

1.        Disiplin Antrian

Disiplin antrian adalah urutan dimana para pelanggan yang menunggu dilayani. Pelanggan pada Fast Shop Market dilayani dengan dasar “pertama data, pertama dilayani (first-come, first-served)”. Artinya, orang yang pertama berada dalam antrian di tempat kasir tersebut akan dilayani lebih dulu.

Sebagai contoh, seorang operator mesin menyusun bagian-bagian yang sedang diproses disamping mesin sedemikian sehingga bagian terakhir diletakkan paling atas dan akan menjadi yang pertama dipilih. Disiplin antrian ini disebut sebagai “terakhir masuk, pertama keluar (last-in, first-out)”. Dalam kasus ini, disiplin antrian disebut acak.

Contoh berbagai jenis disiplin antrian adalah ketika pelanggan diproses berdasarkan abjad nama belakang (nama keluarga) mereka, seperti pada pendaftaran sekolah atau wawancara pekerjaan. Atau para pelanggan dijadwalkan akan dilayani sesuai dengan perjanjian yang telah dilakukan sebelumnya, seperti pasien-pasien pada praktek dokter umum atau dokter gigi atau mereka yang ingin makan malam di restoran yang membutuhkan reservasi terlebih dahulu.

2.        Populasi Pelanggan (Calling Population)

Calling population (yaitu populasi pelanggan yang membutuhkan) adalah sumber atau alasan bagi pelanggan memiliki suatu pasar, dimana dalam kasus ini diasumsikan tidak terhingga (infinitif). Dengan kata lain, terdapat sejumlah besar pelanggan yang mungkin di daerah lokasi toko tersebut dimana jumlah pelanggan potensial tersebut diasumsikan sebesar tidak terhingga.

Beberapa sistem antrian memiliki populasi pelanggan (calling population) yang terbatas. Sebagai contoh, ruang perbaikan sebuah perusahaan truk dengan armada sebanyak 20 truk memiliki populasi pelanggan yang terbatas. Antrian tersebut berisi sejumlah truk yang menunggu diperbaiki, dan populasi pelanggannya terbatas sebesar 20 truk.

3.        Tingkat Kedatangan

-            Tingkat kedatangan (arrival rate) adalah tingkat dimana para pelanggan datang ke suatu fasilitas jasa selama periode waktu tertentu.

-            Tingkat ini dapat diperkirakan berdasarkan data empiris yang diambil dari hasil mempelajari sistem tersebut atau mempelajari suatu sistem yang sama, atau dapat dianggap sebagai nilai rata-rata dari data empiris tersebut.

-            Sebagai contoh, jika 100 pelanggan sampai di tempat kasir selama 10 jam sehari, dapat dikatakan bahwa tingkat kunjungan rata-rata adalah sebesar 10 pelanggan per jam. Meskipun kita dapat menentukan suatu tingkat kedatangan dengan menghitung jumlah pelanggan yang membayar pada sebuah toko selama 10 hari per jam, berdasarkan premis ini saja tidak dapat diketahui kapan para pelanggan ini datang.

-            Dengan kata lain, mungkin saja dalam satu jam tidak ada seorang pelangganpun yang datang sementara dalam jam-jam lain terdapat 20 pelanggan yang datang.

-            Secara umum, kedatangan ini diasumsikan saling independen satu sama lain dan bervariasi secara acak sepanjang waktu.

-            Berdasarkan asumsi ini, dapat diasumsikan lebih jauh lagi bahwa kedatangan pada suatu fasilitas jasa sesuai dengan suatu distribusi probabilita.

-            Walaupun kedatangan dapat digambarkan oleh distribusi manapun, sudah ditentukan bahwa jumlah kedatangan per unit waktu pada suatu fasilitas jasa sering dapat didefinisikan oleh distribusi Poisson.

4.        Tingkat Pelayanan

-            Tingkat pelayanan (service rate) adalah rata-rata jumlah pelanggan yang dapat dilayani selama periode waktu tertentu.

-            Untuk contoh Fast Shop Market, 30 pelanggan dapat keluar (dilayani) dalam satu jam. Suatu tingkat pelayanan adalah serupa dengan tingkat kedatangan dimana ia merupakan suatu variabel acak.

-            Dengan kata lain, faktor-faktor seperti perbedaan jumlah pembelian pelanggan, jumlah kembalian yang harus dihitung kasir, dan perbedaan bentuk pembayaran mengubah jumlah pelanggan yang dapat dilayani.

-            Mungkin saja terjadi bahwa dalam satu jam hanya terdapat 10 pelanggan yang keluar dan dalam jam berikutnya terdapat 40 pelanggan yang keluar.

-            Gambaran kedatangan dalam bentuk tingkat dan gambaran jasa dalam bentuk waktu merupakan konvensi yang telah dikembangkan dalam teori antrian.

-            Waktu pelayanan dapat ditentukan oleh distribusi probabilita eksponensial (exponential probability distribution).

-            Untuk menganalisa suatu sistem antrian, baik kedatangan maupun pelayanan harus berada dalam unit pengukuran yang cocok. Jadi, waktu pelayanan harus dinyatakan sebagai tingkat pelayanan untuk dapat dihubungkan dengan tingkat kedatangan.

D.      Menentukan yang mana dari sistem antrian berikut ini, yang merupakan model pelayanan tunggal dan model pelayanan ganda!

-          Salon = Ganda, karena yang melayani lebih dari 1

-          Bank =  Ganda, karena yang melayani lebih dari 1

-          Kantor Konsultan = Tunggal, karena yang melayani hanya 1

-          Praktek Dokter = Tunggal, karena yang melayani hanya 1

E.       Antrian Pelayanan Ganda

Sistem antrian pelayanan ganda adalah baris antrian tunggal yang dilayani oleh lebih dari satu pelayan. Bagian pelayanan pelanggan toserba Biggs Department Store memiliki satu ruang tunggu dimana didalamnya kursi-kursi diletakkan sepanjang dinding, untuk membentuk satu baris antrian. Para pelanggan datang ke tempat ini dengan pertanyaan-pertanyaan atau pengaduan-pengaduan atau untuk menjernihkan masalah yang berhubungan dengan tagihan kartu kredit. Para pelanggan tersebut dilayani oleh tiga orang yang mewakili toseba, masing-masing ditempatkan di stan yang terpisah. Para pelanggan dilayani berdasarkan siapa datang pertama, dilayani pertama

F.       Kasus Fast Shop Market

Fast Shop Market memiliki satu tempat kasir dan satu pegawai yang bertugas mengoperasikan mesin kas pada tempat kasir tersebut. Dalam sistem antrian ini, kombinasi antara mesin kas dan tempat kasir atau disebut server (atau fasilitas pelayanan); para pelanggan yang menunggu giliran pada tempat tersebut untuk membayar barang belanjaan membentuk suatu barisan, atau antrian. Konfigurasi contoh sistem antrian ini ditunjukkan dalam gambar 1.

Faktor-faktor terpenting yang harus dipertimbangkan dalam melakukan analisa sistem antrian seperti yang terdapat dalam gambar 1 adalah sebagai berikut :

1.        Disiplin antrian (pada urutan ke berapa pelanggan dilayani)

2.        Sifat populasi pelanggan (calling population) (darimana pelanggan berasal)

3.        Tingkat kedatangan (seberapa sering pelanggan ada dalam antrian)

4.        Tingkat pelayanan (seberapa cepat pelanggan dilayani).

G.   Struktur Dasar Proses Antrian

       1.  Satu Saluran Banyak Tahap (Single Channel – Multi Phase)

Istilah Multi Phase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan.  Sebagai contoh : Pencucian mobil, Buat KTP, Loundry, dll.

2.  Banyak Saluran Banyak Tahap (Multi Channel -  Multi Phase)

Sistem Multi Channel – Multi Phase Sebagai contoh, Herregistrasi para mahasiswa di universitas,  pelayanan kepada pasien di rumah sakit mulai dari pendaftaran, diagnosa, penyembuhan sampai pembayaran. Setiap sistem – sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahapnya.

SUMBER :

http://azzahidikhairul.blogspot.co.id/2014/03/model-antrian-dalam-riset-operasi.html

https://sites.google.com/site/operasiproduksi/teori-antrian

http://armandjexo.blogspot.co.id/2012/04/teori-antrian.html

Riset Operasi “Metode Transportasi”

Riset Operaasi

“Metode Transportasi”

Merupakan suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama, ke tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal.

Metode transportasi berhubungan dengan distribusi suatu produk tunggal dari beberapa sumber, dengan penawaran terbatas, menuju ke beberapa tujuan dengan permintaan tertentu. Asumsi dasar model ini adalah biaya transport pada suatu rute tertentu proporsional dengan banyaknya unit yang dikirimkan.

Pada model transportasi, yang harus diperhatikan adalah bahwa total kuantitas pada seluruh baris harus sama dengan total kuantitas pada seluruh kolom, jika tidak, maka perlu ditambahkan kuantitas dummy.

Karakteristik dari metode transportasi adalah :

1) Suatu barang dipindahkan (transported), dari sejumlah sumber ke tempat tujuan dengan biaya seminimum mungkin.

2) Atas barang tersebut tiap sumber dapat memasok suatu jumlah yang tetap dan tiap tempat tujuan mempunyai jumlah permintaan yang tetap.

Model dari metode trasportas dapat digambarkan seperti yang tertera pada Gambar 1.

Gambar 1. Model Metode Transportasi

Keterangan Gambar 1 :

·         a1, a2, ..., am   = Jumlah supply (pasokan) pada sumber ke 1, 2, ..., m.

·         bA, bB, ..., bn  = Jumlah demand (permintaan) pada sumber ke A, B, ..., n.

·        c1A, ..., cmn     = Biaya yang terjadi akibat perpindahan dari sumber ke tujuan

  (dari sumber 1 ke A, ..., dari sumber m ke n).

·         x1A, ..., xmn    = Jumlah yang terjadi akibat perpindahan dari sumber ke tujuan

(dari sumber 1 ke A, ..., dari sumber m ke n).

Untuk membantu penyelesaian masalah metode transportasi, digunakan alat bantu berupa tabel seperti yang tertera pada tabel 1 yang disebut tabel tansportasi.

Tabel 1. Model Tabel Transportasi

 

Untuk menyelesaikan masalah transportasi, terdapat beberapa metode yang dapat digunakan, beberapa yang akan dibahas dalam materi ini, antara lain :

1) Metode North West Corner (NWC).

2) Metode Least Cost (LC).

3) Metode Vogel’s Approximation Method (VAM).

Metode North West Corner (NWC)

Merupakan metode yang memulai langkah awalnya dari pojok kiri atas. Langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah transportasi dengan menggunakan metode ini, adalah sebagai berikut :

1) Mulai dari sudut kiri atas (x1A), alokasikan sejumlah maksimum produk dengan melihat jumlah pasokan dan permintaan (atau supply dan demand).

2) Kemudian, bila xmn merupakan kotak terakhir yang dipilih, lanjutkan dengan mengalokasikan pada xm,n+1 (kotak sebelah kanan dari kotak terpilih pada baris yang sama) bila n mempunyai kapasitas permintaan (demand) yang tersisa.

3) Bila tidak (kapasitas permintaan/demand pada baris kotak terpilih sudah terpenuhi), maka alokasikan ke xm+1,n (kotak di bawah kotak terpilih), dan seterusnya sehingga semua kebutuhan telah terpenuhi.

Contoh Soal

Ada 3 kota tempat penyimpanan beras yaitu 1, 2, dan 3, yang akan mengirim ke 3 tempat penggilingan beras yang berlokasi di A, B, dan C dengan menggunakan kereta api, dimana tiap gerbongnya memuat 1 ton beras. Data pasokan beras dan data permintaan beras untuk setiap bulannya, serta data biaya pengiriman dapat dilihat pada tabel berikut.

Permasalahannya adalah untuk menentukan banyak beras (ton) yang harus dikirim dari tiap kota tempat penyimpanan ke tiap lokasi penggilingan setiap bulannya agar total biaya transportasi minimum.

Penyelesaian Masalah Transportasi Dengan Metode NWC

1) Distribusikan data yang ada di soal ke dalam tabel transportasi seperti berikut ini. (Lihat Tabel 2).

2) Mulai dari pojok kiri atas (x1A), dengan jumlah supply = 200 dan demand = 150, maka jumlah maksimum yang dapat dialokasikan pada x1A = 150 (sejumlah demand), karena jika dialokasikan sebesar 200 (sejumlah supply) akan melebihi kapasitas demand. Dari alokasi x1A ini, maka x1B dan x1C yang berada pada baris yang sama (baris 1) tidak perlu di alokasikan (=0). Sehingga tabel akan menjadi seperti berikut ini. (Lihat Tabel 3).

3) Karena baris 1 sudah memenuhi demand (n tidak ada sisa) sehingga alokasi pada xm,n+1 (kotak sebelah kanan dari kotak terpilih pada baris yang sama, yaitu x1B) tidak dapat dilakukan, maka lanjutkan alokasi ke xm+1,n (kotak di bawah kotak terpilih), dalam hal ini yaitu x2A. Dengan jumlah supply = 200, namun telah digunakan x1A = 150, maka sisa jumlah supply = 50, dan demand = 175, sehingga jumlah maksimum yang dapat dialokasikan pada x2A = 50 (sejumlah sisa dari supply) dan x3A tidak perlu dialokasikan (=0). (Lihat Tabel 4).

4) Karena baris 2 belum memenuhi demand (n masih ada sisa), maka lakukan alokasi pada xm,n+1 (kotak sebelah kanan dari kotak terpilih pada baris yang sama), dalam hal ini yaitu x2B. Dengan jumlah supply = 100, dan demand = 175, namun telah digunakan x1B = 50, maka sisa jumlah demand = 125, sehingga jumlah maksimum yang dapat dialokasikan pada x2B = 100 (sejumlah supply), dan x3B tidak perlu dialokasikan (=0). (Lihat Tabel 5).

5) Karena baris 2 belum memenuhi demand (n masih ada sisa), maka lakukan alokasi pada xm,n+1 (kotak sebelah kanan dari kotak terpilih pada baris yang sama), dalam hal ini yaitu x2C. Dengan jumlah supply = 300, dan demand = 175, namun telah digunakan x1B = 50 dan x2B = 100, maka sisa jumlah demand = 25, sehingga jumlah maksimum yang dapat dialokasikan pada x2C = 25 (sejumlah sisa dari demand). (Lihat Tabel 6).

6) Karena xm,n+1 (kotak sebelah kanan dari kotak terpilih) tidak dapat dilakukan, maka lanjutkan alokasi ke xm+1,n (kotak di bawah kotak terpilih), dalam hal ini yaitu x3C. Dengan jumlah supply = 300, namun telah digunakan x2C = 25, maka sisa jumlah supply = 275, dan demand = 275, sehingga jumlah maksimum yang dapat dialokasikan pada x3C = 275 (sejumlah sisa dari supply dan demand). (Lihat Tabel 7).

7) Karena semua telah teralokasi maja telah dicapai solusi optimal. Sehingga alokasi optimal dari metode NWC adalah x1A= 150, x1B= 0, x1C= 0, x2A= 50, x2B= 100, x2C= 25, x3A= 0, x3B= 0, dan x3C= 275.

8) Menghitung biaya pengiriman yang harus dikeluarkan dengan persamaan sebagai berikut.

Jadi biaya pengiriman (transportasi) adalah sebesar $5925.

Metode Least Cost (LC)

Metode ini jauh lebih baik secara umum jika dibandingkan dengan metode NWC. Hal ini karena dalam metode LC mempertimbangkan hal-hal yang ada dalam metode transportasi, yaitu biaya selnya, sehingga mendekati solusi optimal yang diinginkan. Sel yang memiliki biaya-biaya yang tertinggi otomatis tidak akan terpakai, tetapi jika ada sel yang memiliki biaya yang sama, maka penentuan sel yang akan di isi dapat dilakukan secara bebas.

Langkah-langkah dalam menyelesaikan permaslahan transportasi dengan metode ini adalah sebagai berikut :

1) Mulai dari kotak/sel yang memiliki biaya paling keci/minimal, kemudian alokasikan jumlah produk semaksimal mungkin dengan melihat jumlah pasokan dan permintaan (atau supply dan demand).

2) Selanjutnya pilih kembali kotak/sel yang memiliki biaya paling kecil/minimal kecuali kotak/sel yang sudah dipilih dan kotak/sel yang sudah tidak mungkin di alokasikan jumlah produk. Kemudian alokasikan jumlah produk di kotak/sel yang dipilih dengan memeprhatikan jumlah pasokan dan permintaan (atau supply dan demand).

Penyelesaian Masalah Transportasi Dengan Metode LC

Dengan menggunakan contoh soal yang sama pada metode NWC, berikut akan disajikan penyelesaian masalah dengan metode LC.

1) Distribusikan data yang ada di soal ke dalam tabel transportasi seperti berikut ini. (Lihat Tabel 8).

2) Pilih kotak/sel yang memiliki biaya paling kecil/minimal, dalam hal ini adalah x3A dengan biaya sebesar $4. Kemudian alokasikan sejumlah produk semaksimal mungkin dengan melihat jumlah supply dan demand. Dengan jumlah supply = 200, dan demand = 275, maka jumlah yang dapat dialokasikan pada x3A = 200 (sesuai jumlah supply), sehingga x1A dan x2A tidak perlu dialokasikan. (Lihat Tabel 9).

3) Pilih kembali kotak/sel yang memiliki biaya paling kecil/minimal (tanpa x3A, x1A, dan x2A yang sudah tidak mungkin dialokasikan), dalam hal ini adalah x3B dengan biaya $5. Dengan jumlah supply = 100, dan demand = 275, namun telah digunakan oleh x3A = 200, maka sisa jumlah demand = 75, sehingga jumlah yang dapat dialokasikan pada x3B = 75 (sesuai sisa jumlah demand), dan x3C tidak perlu dialokasikan. (Lihat Tabel 10).

4) Pilih kembali kotak/sel yang memiliki biaya paling kecil/minimal (tanpa kotak/sel yang sudah tidak mungkin dialokasikan), dalam hal ini adalah x1B dengan biaya $8. Dengan jumlah supply = 100, namun telah digunakan oleh x3B = 75, maka sisa jumlah supply = 25, dan demand = 150, sehingga jumlah yang dapat dialokasikan pada x1B = 25 (sesuai sisa jumlah supply), dan x2B tidak perlu dialokasikan. (Lihat Tabel 11).

5) Pilih kembali kotak/sel yang memiliki biaya paling kecil/minimal (tanpa kotak/sel yang sudah tidak mungkin dialokasikan), dalam hal ini adalah x1C dengan biaya $10. Dengan jumlah supply = 300, dan demand = 150, namun telah digunakan oleh x1B = 25, maka sisa jumlah demand = 125, sehingga jumlah yang dapat dialokasikan pada x1C = 125 (sesuai sisa jumlah demand). (Lihat Tabel 12).

6) Kotak terakhir yang masih dapat dialokasikan adalah x2C dengan biaya $11. Dengan jumlah supply = 300, namun telah digunakan oleh x1C = 125, maka sisa jumlah supply = 175, dan demand = 175, sehingga jumlah yang dapat dialokasikan pada x2C = 175 (sesuai sisa jumlah supply dan demand). (Lihat Tabel 13).

7) Karena sudah tidak ada lagi kotak/sel yang tersisa, maka solusi optimal sudah dicapai. Alokasi optimal dengan metode LC adalah x1A= 0 ; x1B= 25 ; x1C= 125 ; x2A= 0 ; x2B= 0 ; x2C= 175 ; x3A= 200 ; x3B= 75 ; x3C= 0

8) Menghitung biaya pengiriman yang harus dikeluarkan dengan persamaan sebagai berikut.

Jadi biaya pengiriman (transportasi) adalah sebesar $4550.

Metode Vogel’s Approximation Method (VAM)

Bila dibandingkan dengan dua metode sebelumnya, metode ini jauh lebih baik lagi (lebih mendekati solusi optimal). Namun metode ini relative lebih rumit dalam menentukan solusi.

Langkah-langkah dalam meyelesaikan masalah transportasi dengan metode VAM adalah sebagai berikut.

1) Susunlah kebutuhan, kapasitas masing-masing sumber, dan biaya pengangkutan ke dalam matrik (tabel).

2) Carilah perbedaan dari dua biaya terkecil (dalam nilai absolut), yaitu biaya terkecil dan terkecil kedua untuk tiap baris dan kolom pada matrik (tabel).

3) Pilihlah 1 nilai perbedaan yang terbesar di antara semua nilai perbedaan pada kolom dan baris.

4) Alokasikan semaksimal mungkin jumlah produk pada kotak/sel yang termasuk dalam kolom atau baris terpilih, yaitu pada kotak/sel yang biayanya terendah di antara kotak/sel lain pada kolom/baris itu. Untuk alokasinya perhatikan kapasitas supply dan demand yang ada.

Penyelesaian Masalah Transportasi Dengan Metode VAM

Dengan menggunakan contoh soal yang sama pada metode NWC, berikut akan disajikan penyelesaian masalah dengan metode LC.

1) Menyusun kebutuhan, kapasitas masing-masing sumber, dan biaya pengangkutan ke dalam matrik (tabel). (Lihat Tabel 14).

2) Mencari perbedaan dari dua biaya terkecil (dalam nilai absolut), yaitu biaya terkecil dan terkecil kedua untuk tiap baris dan kolom pada matrik (tabel). Hasilnya dapat dilihat pada Tabel 15, dua biaya terkecil pada baris ditunjukkan dengan lingkaran warna merah, sedangkan dua biaya terkecil pada kolom ditunjukkan dengan warna ungu.

3) Memilih 1 nilai perbedaan yang terbesar di antara semua nilai perbedaan pada kolom dan baris. Dari hasil pada tabel 15, nilai perbedaan terbesar adalah 4 yaitu pada baris 2.

4) Memilih kotak/sel pada baris/kolom yang memiliki nilai perbedaan terbesar dengan biayanya terendah di antara kotak/sel lain pada kolom/baris itu. Dalam hal ini pada baris 2, kotak/sel x2A adalah yang dipilih. Kemudian alokasikan semaksimal mungkin jumlah produk pada kotak/sel yang termasuk dalam kolom atau baris terpilih. Dengan jumlah supply = 200, dan demand = 175, sehingga jumlah yang dapat dialokasikan pada x2A = 175 (sesuai jumlah demand), dan x2B serta x2C tidak perlu dialokasikan. (Lihat Tabel 16).

5) Lakukan kembali langkah penyelesaian ke-2. Hasilnya pada Tabel 17.

6) Lakukan kembali langkah penyelesaian ke-3. Dari hasil pada tabel 17, nilai perbedaan terbesar adalah 3 yaitu pada kolom B.

7) Lakukan kembali langkah penyelesaian ke-4. Dalam hal ini pada kolom B, kotak/sel x3B adalah yang dipilih. Dengan jumlah supply = 100, dan demand = 275, maka jumlah yang dapat dialokasikan pada x3B = 100 (sesuai jumlah supply), dan x1B tidak perlu dialokasikan. (Lihat Tabel 18).

8) Lakukan kembali langkah penyelesaian ke-2. Hasilnya pada Tabel 19.

9) Lakukan kembali langkah penyelesaian ke-3. Dari hasil pada tabel 19, nilai perbedaan terbesar adalah 8 yaitu pada baris 3.

10) Lakukan kembali langkah penyelesaian ke-4. Dalam hal ini pada baris 3, kotak/sel x3A adalah yang dipilih. Dengan jumlah sisa supply = 25, dan sisa demand = 175, maka jumlah yang dapat dialokasikan pada x3A = 25 (sesuai jumlah sisa supply), dan x1A tidak perlu dialokasikan. (Lihat Tabel 20).

11) Lakukan kembali langkah penyelesaian ke-2. Hasilnya pada Tabel 21.

12) Lakukan kembali langkah penyelesaian ke-3. Dari hasil pada tabel 21, nilai perbedaan terbesar adalah 2 yaitu pada kolom C.

13) Lakukan kembali langkah penyelesaian ke-4. Dalam hal ini pada kolom C, kotak/sel x1C adalah yang dipilih. Dengan jumlah supply = 300, dan demand = 150, maka jumlah yang dapat dialokasikan pada x1C = 150 (sesuai jumlah demand). (Lihat Tabel 22).

14) Karena hanya tersisa satu kotak/sel yang belum teralokasi yaitu x3C, dan jumlah sisa supply, serta jumlah sisa demand masih ada sebesar 150, maka alokasikan semuanya pada kotak/sel tersebut (x3C). (lihat Tabel 23).

15) Karena sudah tidak ada lagi kotak/sel yang tersisa, maka solusi optimal sudah dicapai. Alokasi optimal dengan metode VAM adalah x1A= 0 ; x1B= 0 ; x1C= 150 ; x2A= 175 ; x2B= 0 ; x2C= 0 ; x3A= 25 ; x3B= 100 ; x3C= 150.

16) Menghitung biaya pengiriman yang harus dikeluarkan dengan persamaan sebagai berikut.

Jadi biaya pengiriman (transportasi) adalah sebesar $5125.

Referensi

Noer. Bustanul Arifin, 2010, Belajar Mudah Riset Operasional, ANDI.

Sitinjak. Tumpal JR, Riset Operasi, Graha Ilmu, 2006

Taylor III. Bernard W, Manajemen Sains, Salemba Empat, 2008

Wijaya. Andi, Pengantar Riset Operasi, Mitra Wacana Media, 2012